Βασικές Αρχές Μάθησης και Διδασκαλίας των Μαθηματικών

Εισαγωγή

Τα Μαθηματικά αποτέλεσαν και αποτελούν ακόμα και σήμερα τον κινητήριο μοχλό της ανθρώπινης προόδου. Ο ρόλος τους, από την εποχή ακόμη του προϊστορικού πρωτόγονου ανθρώπου και των εμπειρικών υπολογισμών μέχρι και τη σύγχρονη, αλματώδη τεχνολογική και ηλεκτρονική εξέλιξη, είναι αδιαμφισβήτητα καταλυτικός. Είναι προφανές ότι κάθε πρόοδος σε οποιονδήποτε τομέα της ανθρώπινης δράσης, κάθε κοινωνική, οικονομική, πολιτιστική και τεχνολογική ανάπτυξη και, γενικότερα, κάθε πρόοδος του ανθρώπινου είδους στον πλανήτη είχε ως δομική συνιστώσα της την επιστήμη των Μαθηματικών. Στην εποχή μας, ιδιαίτερο ενδιαφέρον προκαλούν οι έρευνες με στόχο τον τρόπο με τον οποίο δομείται και αναπτύσσεται η μαθηματική γνώση. Έρευνες αυτού του είδους απασχολούν έντονα σήμερα τόσο τους μαθηματικούς όσο και τους γνωστικούς ψυχολόγους. Η γενική τάση, πάντως, συγκλίνει προς την κατεύθυνση μιας εποικοδομητικής υπόθεσης σχετικά με τον τρόπο πρόσληψης των διάφορων μαθηματικών εννοιών (Κοτοπούλης, 2004).

Βασικές Αρχές Μάθησης και Διδασκαλίας των Μαθηματικών

Κεντρική επιδίωξη της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην υποχρεωτική εκπαίδευση είναι η ανάδειξη των βασικών χαρακτηριστικών της μαθηματικής γνώσης: της γενίκευσης, της αφαίρεσης, της ακρίβειας και της συντομίας, καθώς και η ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης. Παράλληλα, η διδασκαλία επιδιώκει τη σύνδεση των παραπάνω με το κοινωνικό περιβάλλον, γεγονός που οδηγεί στην ανάπτυξη του μαθηματικού γραμματισμού, δηλαδή στην ικανότητα του ατόμου να αναλύει, να ερμηνεύει και να επεμβαίνει στο κοινωνικό του περιβάλλον και στον κόσμο γύρω του, χρησιμοποιώντας ως εργαλείο τα μαθηματικά και να αντιλαμβάνεται τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούνται τα μαθηματικά για τη λήψη αποφάσεων.

Το AΠΣ επιδιώκει κυρίως να αποκτήσουν οι μαθητές την ικανότητα διατύπωσης και επίλυσης προβλημάτων, καθώς και να διαμορφώσουν μια θετική στάση για τα μαθηματικά, εκτιμώντας το ρόλο τους στην ανάπτυξη του ανθρώπινου πολιτισμού. Η υλοποίηση των παραπάνω στόχων επιχειρείται, όπως αναλύεται στο AΠΣ, να επιτευχθεί μέσα από τέσσερις βασικές διεργασίες: α) του μαθηματικού συλλογισμού και της επιχειρηματολογίας, β) της δημιουργίας συνδέσεων/ δεσμών, γ) της επικοινωνίας μέσω της χρήσης διαφορετικής μορφής εργαλείων, και δ) της μεταγνωστικής ενημερότητας, όπου ο μαθητής σκέφτεται πάνω στις δράσεις του και ελέγχει την αποτελεσματικότητα των στρατηγικών του. Η ανάπτυξη αυτών των διεργασιών από τον μαθητή εξαρτάται από το είδος του προβλήματος/ δραστηριότητας που θέτει ο εκπαιδευτικός στους μαθητές, αλλά και από την αλληλεπίδραση των μαθητών και του εκπαιδευτικού στην τάξη. Για παράδειγμα, μια άσκηση της μορφής «Λύστε την εξίσωση» δεν ενθαρρύνει τις ίδιες διεργασίες με ένα πρόβλημα που μοντελοποιείται από μια εξίσωση. Επιπλέον, αν ο εκπαιδευτικός ενθαρρύνει τους μαθητές του να περιγράψουν, να επεξηγήσουν και να τεκμηριώσουν τις λύσεις τους σε ένα πρόβλημα, μπορεί να τους υποστηρίξει να αναπτύξουν κάποιες από τις παραπάνω διεργασίες.

Σκοπός της διδασκαλίας του μαθήματος

Ο σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηματικών εντάσσεται στους γενικότερους σκοπούς της Εκπαίδευσης και αφορά τη συμβολή στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του μαθητή και την επιτυχή κοινωνική ένταξή του, εφόσον τα Μαθηματικά:

·         Ασκούν τον μαθητή στην μεθοδική σκέψη, στην ανάλυση, στην αφαίρεση, στη γενίκευση, στην εφαρμογή, στην κριτική και στις λογικές διεργασίες και τον διδάσκουν να διατυπώνει τα διανοήματά του με τάξη, σαφήνεια, λιτότητα και ακρίβεια.

·         Αναπτύσσουν την παρατηρητικότητα, την προσοχή, τη δύναμη αυτοσυγκέντρωσης, την επιμονή, την πρωτοβουλία, τη δημιουργική φαντασία, την ελεύθερη σκέψη, καλλιεργούν την αίσθηση της αρμονίας, της τάξης και του ωραίου και διεγείρουν το κριτικό πνεύμα.

·         Είναι απαραίτητα στην καθημερινή ζωή και ιδιαίτερα στο χώρο εργασίας αλλά και για την ανάπτυξη και εξέλιξη των άλλων επιστημών και ιδιαίτερα της Τεχνολογίας, της Οικονομίας και των Κοινωνικών Επιστημών

 Άξονες, Γενικοί στόχοι, Θεμελιώδεις έννοιες Διαθεματικής προσέγγισης

 Ο σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηματικών εντάσσεται στους γενικότερους σκοπούς της Εκπαίδευσης και αφορά τη συμβολή στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του μαθητή και την επιτυχή κοινωνική ένταξή του, εφόσον τα Μαθηματικά:

Με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο επιδιώκεται:

• Η απόκτηση βασικών μαθηματικών γνώσεων και ικανοτήτων.
• Η καλλιέργεια της μαθηματικής γλώσσας ως μέσου επικοινωνίας.
• Η κατανόηση στοιχειωδών Μαθηματικών μεθόδων.
• Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής συλλογισμών και την αποδεικτική διαδικασία.
• Η ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων.
• Η ανάδειξη της δυνατότητας εφαρμογής και πρακτικής χρήσης των Μαθηματικών.
• Η ανάδειξη της δυναμικής διάστασης της μαθηματικής επιστήμης (ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών εργαλείων, συμβόλων και εννοιών).
• Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηματικά

 Ασκούν τον μαθητή στην μεθοδική σκέψη, στην ανάλυση, στην αφαίρεση, στη γενίκευση, στην εφαρμογή, στην κριτική και στις λογικές διεργασίες και τον διδάσκουν να διατυπώνει τα διανοήματά του με τάξη, σαφήνεια, λιτότητα και ακρίβεια.

Αναπτύσσουν την παρατηρητικότητα, την προσοχή, τη δύναμη αυτοσυγκέντρωσης, την επιμονή, την πρωτοβουλία, τη δημιουργική φαντασία, την ελεύθερη σκέψη, καλλιεργούν την αίσθηση της αρμονίας, της τάξης και του ωραίου και διεγείρουν το κριτικό πνεύμα.

Διδακτική των Μαθηματικών: Θεωρίες - αρχές - παράγοντες

Τα παιδιά μαθαίνουν Μαθηματικά μέσα από τη διαδικασία της αναδιοργάνωσης των γνωστικών δομών που ήδη διαθέτουν. Όμως, για να αναγκαστεί το παιδί να οικοδομήσει νέες γνωστικές δομές, πρέπει προηγουμένως να έρθει αντιμέτωπο με προβληματικές καταστάσεις οι οποίες ενδεχομένως να περιλαμβάνουν την επίλυση μιας αντίφασης, τη δικαιολόγηση ενός αποτελέσματος που προκαλεί έκπληξη, την εξήγηση μιας λύσης ή ακόμη και τη διευθέτηση συγκρουόμενων απόψεων (Cobb et al, 1991). Τέτοιου είδους καταστάσεις, εξάλλου, μπορούν να βιώσουν οι μαθητές καθώς προσπαθούν να λύσουν διάφορα πρακτικά προβλήματα της άμεσης καθημερινότητάς τους, βασιζόμενοι στις μέχρι τώρα θεωρήσεις τους για διάφορες έννοιες και διαδικασίες. Αυτό, βέβαια, δεν σημαίνει ότι και αυτές οι προγενέστερες –κάθε είδους– γνώσεις των παιδιών δεν έχουν τη δική τους αξία και συμβολή στη δόμηση της νέας γνώσης. Σε αντίθεση με την παραδοσιακή διδασκαλία, οι άτυπες ή διαισθητικές γνώσεις των μαθητών αποτελούν το εφαλτήριο για το άλμα σε και-νούργια γνωστικά επιτεύγματα.

Στην παραδοσιακή προσέγγιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών, ο όρος πρόβλημα είναι συνυφασμένος με τα στερεότυπα προβλήματα-ασκήσεις που αναφέρονται στο τέλος κάθε διδακτικής ενότητας των εγχειριδίων των Μαθηματικών. Έτσι, το πρόβλημα χρησιμοποιείται ως το μέσο εκείνο που θα βοηθή- σει τους μαθητές να εφαρμόσουν και να εμπεδώσουν τη νέα γνώση. Ο Freudenthal (1983) χαρακτηρίζει αυτή τη χρήση του προβλήματος ως ιστορικά αβάσιμη, υποστηρίζοντας ότι η ιστορική μελέτη της εξέλιξης των μαθηματικών εννοιών δείχνει ότι η λύση πρακτικών προβλημάτων της καθημερινής ζωής αποτέλεσε τη βάση από την οποία ξεκίνησε η ανάπτυξή τους. Τέτοιες δε κατα- στάσεις προβληματισμού είναι δυνατό να προκύπτουν μέσα από τις διδακτικές δραστηριότητες που σχεδιάζει ο δάσκαλος ή μέσα από συζητήσεις με τους μαθητές του κατά τη διάρκεια των μαθημάτων. Ευνόητο είναι, λοιπόν, πως σε τίποτε δεν εξυπηρετεί τον δάσκαλο η αναζήτηση τρόπων που διευκολύνουν τη μετάδοση των μαθηματικών γνώσεων στους μαθητές του. Απεναντίας, το βασικό στόχο της διδακτικής του προσέγγισης σηματοδοτεί η δημιουργία καταστάσεων προβληματισμού, οι οποίες θα λειάνουν το έδαφος για τη δόμηση και ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης από τους ίδιους τους μαθητές, μέσα σε μια σχολική τάξη που λειτουργεί ως περιβάλλον μάθησης τόσο για τα παιδιά όσο και για τον ίδιο τον δάσκαλο.

Σε ένα τέτοιο περιβάλλον μάθησης, τα λάθη που κάνουν οι μαθητές μπορεί να παίξουν καθοριστικό ρόλο στην πορεία της δόμησης και ανάπτυξης της μαθη- ματικής σκέψης. Εξάλλου, όπως τονίζει και ο Cipra (1985), “ … όποιος ασχολείται με την επιστήμη ξέρει καλά ότι η δύναμή του δεν προέρχεται από το αλάνθαστο, αλλά αντίθετα από την ικανότητά του για συνεχή αυτοδιόρθωση”. Είναι γεγονός ότι μέχρι σήμερα ο δάσκαλος δεν έδινε τη βαρύτητα που αρμόζει στα λάθη των μαθητών του. Όχι σπάνια δε, τα θεωρούσε αποτέλεσμα ελλιπούς γνώσης ή ακόμη και συνέπεια της απροσεξίας των παιδιών. Η νέα διδακτική προσέγγιση των μαθηματικών εννοιών βασίζεται στην επανεξέταση των απόψεων και πρακτικών των δασκάλων για τα λάθη των μαθητών. Αν οι δάσκαλοι δεν δεχτούν τη φυσική παρουσία των λαθών στην πορεία οικοδόμησης της μαθηματικής γνώσης των μαθητών τους, τότε είναι αδύνατο να επιτευχθεί μια ουσιαστική επικοινωνία με τους μαθητές. Σύμφωνα δε με την άποψη του Labinowicz (1987), η άποψη που έχει ο δάσκαλος για τη μάθηση και τη διδασκαλία των Mαθηματι κών αντανακλάται άμεσα στον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζει τα λάθη των μαθητών του. Ο δάσκαλος που θέλει να αντιμετωπίσει με βάση τη σύγχρονη διδακτι- κή προσέγγιση των Μαθηματικών τα λάθη που κάνουν οι μαθητές του οφείλει (Cobb και Yackel, 1991):

·         να ακούει προσεκτικά και να προσπαθεί να ερμηνεύσει τις ιδέες των παιδιών

·         να παρωθεί τους μαθητές του να αναλύουν και να εξηγούν στην τάξη τον τρόπο με τον οποίο αντιμετώπισαν μία προβληματική κατάσταση και να προσπαθεί να δει τα πράγματα από τη δική τους οπτική γωνία

·         να μη σχολιάζει θετικά ή αρνητικά τις απαντήσεις που δίνουν οι μαθητές, αλλά να προσπαθεί με τον τρόπο του να ακούει και να συζητά τις σκέψεις όλων των παιδιών

·         να θέτει το λάθος ως ζήτημα προς συζήτηση από τα μέλη της μαθητικής κοινότητας

·         να κατασκευάζει καινούρια προβλήματα με αφορμή τα λάθη των μαθη- τών του

Από την κατασκευαστική θεωρία της γνώσης προκύπτει ότι η ουσιαστική δόμηση και ανάπτυξη των βασικών μαθηματικών εννοιών σχετίζεται άμεσα με τη διαδικασία λύσης προβλημάτων (VonGlassersfeld, 1987). Η διδασκαλία μιας μαθηματικής έννοιας απαιτεί από τον δάσκαλο την αναζήτηση φαινομένων (πραγματικών) των οποίων η ερμηνεία αναγκάζει τον μαθητή να υποθέσει, να πειραματιστεί, να ερευνήσει, να επανακατασκευάσει, να προβεί σε συμπεράσματα, με τελικό στόχο την οικοδόμηση και ανάπτυξη της μαθηματικής έννοιας. Αν για μια συγκεκριμένη έννοια (μαθηματική) ο δάσκαλος δεν μπορεί να βρει τέτοια φαινόμενα, τότε αποτελεί ουτοπία η διδασκαλία της έννοιας στους μαθητές του με οποιαδήποτε διδακτική προσέγγιση, γιατί, αν ο δάσκαλος δεν είναι σε θέση να ανακαλύψει κάτι για το οποίο θα μιλήσει με πάθος στους μαθητές του, τότε ίσως είναι προτιμότερο να σωπάσει (Παΐζη, 1987). Έτσι, στη σχολική τάξη η “κατασκευή” των μαθηματικών εννοιών από τους μαθητές είναι στην ουσία μια μορφή επανα-κατασκευής της μαθηματικής γνώσης, η οποία ξεπηδά άμεσα από την ανάγκη εξήγησης-ερμηνείας των πραγματικών φαινομένων. Με βάση τα παραπάνω, η επίλυση διάφορων προβληματικών καταστάσεων που βασίζονται σε πραγματικές-καθημερινές ανάγκες των παιδιών αποτελεί την καρδιά ενός καινοτόμου, ευέλικτου και αποτελεσματικού Αναλυτικού Προγράμματος των Μαθηματικών, όχι απαραίτητα ως ανεξάρτητη θεματική περιοχή, αλλά ως βασικός άξονας γύρω από τον οποίο θα οργανωθεί η διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών. Η επίλυση προβλημάτων είναι το μέσο εισαγωγής, κατανόησης, σύνδεσης και εξάσκησης των μαθηματικών εννοιών. Η θεματολο γία των προβλημάτων διαφέρει ανάλογα με τη βαθμίδα εκπαίδευσης στην οποία αυτά αναφέρονται. Έτσι, στις πρώτες βαθμίδες της εκπαίδευσης συνιστώνται προβλήματα που σχετίζονται με τα καθημερινά βιώματα, τις ανάγκες, τις εμπειρίες και τις ενασχολήσεις των παιδιών, ενώ σταδιακά στις μεγαλύτερες βαθμίδες εκπαίδευσης, η θεματολογία των προβλημάτων μπορεί να αντλεί υλικό από περισσότερο αφηρημένα θέματα και καταστάσεις. Η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων στη σχολική τάξη είναι δυνατό να ακολουθήσει τις παρακάτω τέσσερις φάσεις:

• Οι μαθητές λύνουν ένα μαθηματικό πρόβλημα σε μικρές ομάδες εργασίας.
• Ο δάσκαλος ζητά από ένα μαθητή να ανακοινώσει στην τάξη τη λύση που βρήκε η ομάδα του.
• Ο μαθητής ανακοινώνει τη λύση του προβλήματος και την εξηγεί.
• Ο δάσκαλος συζητά με τα παιδιά την όλη διαδικασία επίλυσης του προβλή ματος και παρωθεί τους μαθητές του να εκφράσουν τις απορίες τους και τις τυχόν ενστάσεις τους για το συγκεκριμένο τρόπο επίλυσης έτσι, ώστε μια κοινά αποδεκτή λύση ή εξήγηση να επικρατήσει.
• Ο δάσκαλος αναζητά από τους μαθητές διαφορετικούς τρόπους επίλυσης του προβλήματος.

Για τη λύση προβλημάτων σημαντικό ρόλο διαδραματίζει σήμερα και η εξοικείωση των μαθητών με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές από τα πρώτα κιόλας χρόνια της εκπαίδευσής τους. Είναι γεγονός πως αρκετά προβλήματα λύνονται μόνο με νοερούς υπολογισμούς, κάποια άλλα απαιτούν τη συνηθισμένη μέθοδο με χαρτί και μολύβι, ενώ για πιο σύνθετους υπολογισμούς η χρήση υπολογιστών διευκολύνει αισθητά τη διαδικασία. Συνεπώς, η διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών βασίζεται σε ορισμένες συνιστώσες μάθησης (μαθησιακές αρχές):

·         Η διαδικασία μάθησης των Μαθηματικών υπάγεται στο πλαίσιο κατασκευ-αστικών δραστηριοτήτων από τους μαθητές.

·         Η δόμηση μιας μαθηματικής έννοιας ή δεξιότητας αποτελεί μια διαδικασία μακρόχρονη, η οποία κινείται σε διαδοχικά επίπεδα αφαίρεσης.

·         Η μετάβαση από ένα γνωστικό επίπεδο σε ένα άλλο υψηλότερο απαιτεί νοη-τική ενεργοποίηση του μαθητή, ανατροφοδότηση και “προσωπικό αναστοχασμό”. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μαθητής κρίνει κάθε φορά τις ενέργειές του και τις γενικότερες στρατηγικές που χρησιμοποίησε για την αντιμετώπιση μιας προβληματικής κατάστασης, και επανοριοθετεί τη δράση του ανάλογα με το αποτέλεσμα

·         Η διαδικασία της μάθησης συντελείται μέσα σε ένα συγκεκριμένο κάθε φο-ρά κοινωνικο-πολιτισμικό πλαίσιο, οι συνθήκες του οποίου την επηρεάζουν άμεσα

·         “Μαθαίνω Μαθηματικά” δεν σημαίνει απορροφώ ή κατανοώ γνώσεις και δεξιότητες που μου προσφέρονται έτοιμες από τον δάσκαλο, αλλά εντάσσω τις επιμέρους γνώσεις και δεξιότητες σε ένα δομημένο σύνολο, στο πλαίσιο ενός συγκεκριμένου κοινωνικο-πολιτιστικού περιβάλλοντος. Οι νέες γνώσεις είτε εντάσσονται αρμονικά στην ήδη υπάρχουσα γνώση (διαδικασία αφομοίωσης) είτε προκαλούν επαναδιάταξη της προϋπάρχουσας γνώ- σης (διαδικασία προσαρμογής).

Ένας ιδιαίτερα σημαντικός παράγοντας της διδακτικής των μαθηματικών εί- ναι οι αντιλήψεις και απόψεις των εκπαιδευτικών σχετικά με τη μαθηματική επιστήμη. Σύμφωνα με την παραδοσιακή αντίληψη, ο δάσκαλος μπορεί να διδάξει όλα τα μαθήματα του δημοτικού σχολείου, φτάνει να διαθέτει άριστη παι- δαγωγική κατάρτιση. Η αντίληψη αυτή σήμερα δεν είναι αποδεκτή. Είναι γεγο- νός ότι ο δάσκαλος θα πρέπει, σύμφωνα με τη σύγχρονη διδακτική των μαθηματικών, να έχει μια βαθύτερη αντίληψη των μαθηματικών εννοιών και της ση- μασίας τους στην ανθρώπινη καθημερινότητα. Να βιώσει πρώτα ο ίδιος ως εκπαιδευτικός και ως άνθρωπος την αναγκαιότητα της δημιουργίας των μαθηματικών καθώς και των ποικίλων εφαρμογών τους στην ανθρώπινη εξέλιξη, για να μπορέσει να βοηθήσει τους μαθητές του στη δόμηση και ανάπτυξη της μαθηματικής τους γνώσης (Φιλίππου & Χρίστου, 2002).

Η διδακτική προσέγγιση των Μαθηματικών

Η Αριθμητική δεν αποτελεί μια συλλογή δεξιοτήτων από τα παιδιά. Ο δάσκαλος οφείλει να γνωρίζει σε τι είδους μάθηση μετέχει το παιδί και με ποιο τρόπο λαμβάνει χώρα αυτή η μάθηση. Αυτό είναι απαραίτητο για την εννοιολογική διαμόρφωση των κατάλληλων αρχών διδασκαλίας. Οι δεξιότητες απαιτούν συνήθως μηχανική εκτέλεση και τελειοποιούνται από τους μαθητές με τη βοήθεια της εξάσκησης. Υπό το πρίσμα αυτό, η μάθηση, για παράδειγμα, της γραφής των αριθμών αποτελεί ενμέρει μια δεξιότητα. Η μάθηση όμως των τεσσάρων πράξεων των φυσικών αριθμών απαιτεί λογικομαθηματική σκέψη και η σκέψη αναμφισβήτητα δεν είναι δεξιότητα. Η σκέψη δεν αναπτύσσεται ούτε τελειοποι- είται μέσα από την εξάσκηση. Έτσι, για παράδειγμα, μπορούμε να διδάξουμε στους μαθητές μας τις δεκάδες και τις μονάδες μόνον εφόσον προηγουμένως έ- χουν οικοδομήσει τις μονάδες (Kamii & DeClark, 1995). Η διδασκαλία “δεξιοτήτων” και τεχνικών μεθόδων για την πραγματοποίηση των πράξεων στην ηλικιακή περιοχή των δύο πρώτων τάξεων του δημοτικού σχολείου εμποδίζει την αυτόνομη ανάπτυξη της λογικομαθηματικής σκέψης και αδειάζει από περιεχόμενο τις νοητικές ενέργειες των μαθητών οδηγώντας τους σε “μαθηματικοφοβία”.

·         οι μαθητές αναγκάζονται να εγκαταλείψουν και να μη χρησιμοποιούν τη δική τους σκέψη, και

·         αυτοί οι κανόνες δεν διδάσκουν τις έννοιες των μονάδων, των δεκάδων κ.τ.λ., οπότε εμποδίζουν τα παιδιά να αναπτύξουν την έννοια του αριθμού.

Τα παιδιά δεν χρειάζονται άμεση διδασκαλία για να αναπτύξουν τη λογικο- μαθηματική τους σκέψη. Όταν βρεθούν αντιμέτωπα με μια προβληματική κα- τάσταση που τους προκαλεί σύγκρουση, έκπληξη ή τους οδηγεί σε αντίφαση, συχνά καταλήγουν σε σκέψη υψηλότερου επιπέδου. Η ανάπτυξη αριθμητικών δραστηριοτήτων μέσα από καθημερινές καταστάσεις δεν σημαίνει ότι περιγρά- φουμε στα παιδιά μια κατάσταση της καθημερινότητας και ζητούμε από αυτά την επίλυσή της, αλλά ότι αναθέτουμε στα παιδιά την ευθύνη να αναζητήσουν απάντηση σε αριθμητικά προβλήματα που πηγάζουν από την καθημερινότητα της σχολικής ζωής στην τάξη. Επίσης, καλό είναι οι δραστηριότητες που δίνει ο εκπαιδευτικός στα παιδιά να τους ζητούν να κάνουν  κι όχι μόνο να πουν κάτι, γιατί με τον τρόπο αυτό καλλιεργείται η ενεργητικότητα της σκέψης, που είναι ιδιαίτερα σημαντική στην οικοδόμηση και ανάπτυξη της λογικομαθηματικής γνώσης των παιδιών.

Διδακτική μεθοδολογία

Η επίτευξη των γενικών στόχων της Μαθηματικής εκπαίδευσης αποτελεί, όπως είναι φυσικό, αντικείμενο συνεχούς αναζήτησης και προβληματισμού. Το παραδοσιακό μοντέλο διδασκαλίας (έμφαση στα αποτελέσματα της μαθηματικής δημιουργίας και στον τρόπο παρουσίασης τους) αμφισβητείται. Τόσο το τελικό "προϊόν" της μαθηματικής δημιουργίας όσο και ο τρόπος παρουσίασης του υποβαθμίζει την διαδικασία μέσω της οποίας φτάνουμε σε αυτό.

Οι σύγχρονες αντιλήψεις σχετικά με τη διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών θεωρούν τα Μαθηματικά όχι μόνο ως το αποτέλεσμα αλλά και τη δραστηριότητα μέσω της οποίας παράγεται το αποτέλεσμα αυτό. Με αυτή την έννοια τα Μαθηματικά δεν αποτελούν μόνο ένα σύστημα γνώσεων αλλά και μια διαδικασία σύλληψης, οργάνωσης και τεκμηρίωσης αυτών των γνώσεων.

Αν δεχτούμε, επομένως, ότι η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν αφορά μόνο γνώσεις και κατάκτηση ενός συγκεκριμένου επιπέδου ικανοτήτων, αλλά περιλαμβάνει διαδικασίες μάθησης που καλύπτουν τις διαστάσεις που έχουμε ήδη περιγράψει, οι στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης εκφράζονται πληρέστερα με όρους δραστηριοτήτων, παρά με όρους παρατηρήσιμων συμπεριφορών.

Η επιλογή των δραστηριοτήτων γίνεται με βάση συγκεκριμένα κριτήρια που αναφέρονται στους γενικούς στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης και η διατύπωσή τους επιτρέπει την εμπλοκή, εφόσον είναι δυνατόν, του συνόλου των μαθητών της τάξης. Για τους μαθητές αυτό σημαίνει ότι έχουν την ευκαιρία να σκεφτούν και να ενεργήσουν στο δικό τους προσωπικό επίπεδο και να διατυπώσουν τους δικούς τους επιμέρους στόχους. Για το δάσκαλο αυτό σημαίνει υψηλό βαθμό αυτενέργειας και πρωτοβουλίας. Πρέπει να είναι ικανός να διακρίνει πίσω από τη διατύπωση μιας δραστηριότητας τους γενικούς στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης και να τους προσαρμόσει στις ιδιαιτερότητες της τάξης του. Για τη σωστή επιλογή δραστηριότητας επισημαίνεται ότι μια δραστηριότητα πρέπει:

·         Να είναι κατανοητή από όλους τους μαθητές και να μην επιτρέπει παρανοήσεις και υπονοούμενα.

·         Να αφήνει περιθώρια για έρευνα και αυτενέργεια.

·         Να ενθαρρύνει την συνεργατικότητα και την ομαδική εργασία, προτρέποντας τους μαθητές και τις ομάδες σε νοητικό ανταγωνισμό.

·         Να μην επιτρέπει άμεση προσέγγιση σε μια και μοναδική λύση.

Το πρόβλημα από το οποίο προκύπτει η δραστηριότητα πρέπει να είναι πλούσιο σε εμπλεκόμενες έννοιες να είναι αρκετά σημαντικό αλλά όχι δύσκολο, ώστε να μπορεί να αντιμετωπιστεί από τους μαθητές. Η επεξεργασία του προβλήματος να μπορεί να γίνει, όπου αυτό είναι δυνατό, σε δύο τουλάχιστον πλαίσια (π. χ. αριθμητικό - γραφικό) μεταξύ των οποίων ο μαθητής θα μπορέσει να κάνει τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις. Επιδιώκοντας τους γενικούς στόχους της μαθηματικής εκπαίδευσης μέσω επεξεργασίας κατάλληλων δραστηριοτήτων, οι μαθητές μαθαίνουν να ερευνούν, να αιτιολογούν κατ’ αναλογία, να εκτιμούν την ισχύ πιθανών λύσεων, να επιχειρηματολογούν υπέρ της λύσης που προτείνουν και να εκφράζονται στη μαθηματική γλώσσα εκτιμώντας την ισχύ της ως εργαλείο επικοινωνίας. Αυτοί είναι οι πραγματικοί στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης, δηλαδή «οι στόχοι, αφορούν την ίδια τη διαδικασία μάθησης και δεν αποτελούν απλά μετρήσιμο αποτέλεσμα».

Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι μια διαδικασία μάθησης, που στηρίζεται σε επεξεργασία δραστηριοτήτων, δεν θα οδηγήσει σε κάποια «προϊόντα» μάθησης που οι υποστηρικτές της πρώτης προσέγγισης εκφράζουν με τη μορφή παρατηρήσιμων συμπεριφορών. Απλά οι στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης έχουν μεγάλο εύρος και δεν μπορούν να περιοριστούν σε μια στείρα έκφραση «προϊόντος».

Με βάση τα προηγούμενα, προκύπτει ότι για κάθε τάξη η διδασκαλία των Μαθηματικών πρέπει να οργανωθεί στη βάση μιας συνύπαρξης ενός σχεδιασμού κατάλληλων και πλούσιων δραστηριοτήτων και ενός προγραμματισμού μιας επιθυμητής τελικής συμπεριφοράς. Άλλωστε, η περιγραφή των στόχων με όρους επιδιωκόμενων «προϊόντων», όταν πρόκειται για απόκτηση υψηλού επιπέδου διανοητικών ικανοτήτων είναι συχνά ατελής, αν όχι και ανέφικτη (π.χ. δεν μπορείς να εκφράσεις με τη μορφή «προϊόντος» την αναλογική σκέψη ή την κριτική ικανότητα). Γι’ αυτό και η διδασκαλία πρέπει να οργανωθεί στη βάση δραστηριοτήτων για την επίτευξη των γενικών στόχων της μαθηματικής εκπαίδευσης, με τους συγκεκριμένους μετρήσιμους στόχους να ενέχουν το ρόλο του παραδείγματος για το διδάσκοντα, προκειμένου αυτός να βοηθηθεί στη μετάφραση των γενικών στόχων.

Είναι σημαντικό να παρέχονται στους μαθητές δικλείδες ασφαλείας στην αναζήτηση της γνώσης. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές πρέπει να έχουν τη δυνατότητα πολλαπλής προσέγγισης μιας έννοιας όπως:

• Μέσω διαφόρων τύπων αναπαραστάσεων (συμβολικά, με γραφικές παραστάσεις, με πίνακες, με γεωμετρικά σχήματα)
• Διαθεματικά
• Με αναφορά στην Ιστορία των Μαθηματικών ( η Ιστορία των Μαθηματικών είναι ένα πεδίο πλούσιο σε ιδέες για τη διδακτική προσέγγιση μιας έννοιας).

Εργαλεία διδασκαλίας και μάθησης

Δραστηριότητες

Τα βασικά εργαλεία διδασκαλίας και μάθησης που υποστηρίζει το ΠΣ είναι η χρήση, από τους ίδιους τους μαθητές στην τάξη, δραστηριοτήτων, οι οποίες μπορούν να βοηθήσουν στην εισαγωγή μαθηματικών εννοιών, στην αναγνώριση μαθηματικών ιδιοτήτων και δομών, στη μοντελοποίηση καταστάσεων με την αξιοποίηση μαθηματικών εργαλείων και γενικότερα στη μαθηματική διερεύνηση. Το πέρασμα από τη δραστηριότητα στο μαθηματικό αντικείμενο είναι ένα δύσκολο σημείο που χρειάζεται να διαχειριστεί ο εκπαιδευτικός ώστε να μπορέσει ο μαθητής να κάνει τις ανάλογες συνδέσεις ανάμεσα στο πλαίσιο που θέτει η δραστηριότητα και στο μαθηματικό περιεχόμενο. Η διαρκής αναφορά του μαθητή στο πλαίσιο της δραστηριότητας που έχει να λύσει σε όλη την πορεία επίλυσής της βοηθά στο πέρασμα αυτό. Συχνά, η παρουσίαση του μαθηματικού μοντέλου απευθείας από τον εκπαιδευτικό καταστρατηγεί την αρχή της ανακάλυψής του από τους μαθητές και μετατρέπει τη μαθηματική δραστηριότητα των μαθητών σε τετριμμένη. Η παρουσίαση από τον εκπαιδευτικό του μαθηματικού μοντέλου συχνά μετατρέπει τη μαθηματική δραστηριότητα των μαθητών σε τετριμμένη. Η συνεργασία των μαθητών στην τάξη, η συζήτηση τόσο στο πλαίσιο μικρών ομάδων όσο και σε ολόκληρη την τάξη επιτρέπει στους μαθητές να διατυπώσουν, να επεξηγήσουν και να τεκμηριώσουν τις σκέψεις τους. επίσης, ο εκπαιδευτικός χρειάζεται να υποστηρίζει τη νοηματοδότηση των μαθηματικών εννοιών που αναδεικνύονται στη δραστηριότητα και να μην περιορίζεται στη συνεχή εξάσκηση.

Χειραπτικά εργαλεία

Συχνά, η μαθηματική διερεύνηση γίνεται μέσα από τη χρήση χειραπτικών και ψηφιακών εργαλείων. Το ΠΣ και ο οδηγός προτείνουν την αξιοποίηση τέτοιων εργαλείων και δίνουν κάποια παραδείγματα αξιοποίησής τους στη διδασκαλία. Τα εργαλεία αυτά επιτρέπουν στους μαθητές να πειραματιστούν, να κάνουν εικασίες, να ανακαλύψουν μαθηματικές έννοιες και ιδιότητες και συχνά να εντοπίσουν ακόμα και βασικές ιδέες που θα τους οδηγήσουν στην τεκμηρίωση των εικασιών τους με μαθηματικά εργαλεία. Το πέρασμα από τον εμπειρικό-διαισθητικό τρόπο σκέψης που επιτρέπουν τα εργαλεία στον τυπικό δεν γίνεται αυτόματα και απαιτεί οι μαθητές να έχουν την ευκαιρία, μέσα από συζήτηση, να κάνουν αυτές τις συνδέσεις. Τα χειραπτικά εργαλεία που αξιοποιούνται στο ΠΣ είναι δομημένα (π.χ. Dienes blocks για τη διδασκαλία του θεσιακού συστήματος), ημι-δομημένα (π.χ. τα algebra tiles για τις πράξεις των ακεραίων) ή μη δομημένα (π.χ. γεωπίνακες για την κατασκευή και σύγκριση γεωμετρικών σχημάτων). Ακόμα και η χρήση τους μπορεί να διαφέρει ως προς τη μαθηματική δράση που υποστηρίζουν. Για παράδειγμα, το χειραπτικό υλικό μπορεί να είναι ένα μοντέλο αναπαράστασης μιας διαδικασίας (π.χ. το μοντέλο της ζυγαριάς ή τα algebra tiles), ένα μέσο διερεύνησης μιας σχέσης (π.χ. τα geostrips για τη διερεύνηση της σχέσης εμβαδόν – περίμετρος) ή ακόμα πιο παραδοσιακής μορφής εργαλεία (διαβήτης, όργανα μέτρησης) που χρησιμοποιούνται στη γεωμετρία για σχεδιασμό, κατασκευή, σύγκριση γεωμετρικών αντικειμένων. Επίσης, η κατάλληλη χρήση του υπολογιστή τσέπης επιτρέπει τη μαθηματική διερεύνηση και τον πειραματισμό. Τέλος, μια σειρά από αναπαραστασιακά εργαλεία (π.χ. διάφορες μορφές αριθμογραμμής [κενή, διπλή κ.λπ.], μήκη, γεωμετρικά σχήματα) μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αποδώσουν νόημα σε έννοιες και διαδικασίες. Το κάθε χειραπτικό και αναπαραστασιακό υλικό έχει δυνατότητες και περιορισμούς και προσομοιώνει μαθηματικές έννοιες, ιδιότητες και διαδικασίες. Αυτό είναι πολύ δύσκολο να γίνει αντιληπτό ακόμα και από μαθητές του Γυμνασίου. Η εναλλαγή χειραπτικών υλικών για το ίδιο μαθηματικό περιεχόμενο και η συζήτηση πάνω στις ομοιότητες και στις διαφορές τους μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν τις διαφοροποιήσεις ανάμεσα στις μαθηματικές οντότητες και στις αναπαραστάσεις τους. Επίσης, καθημερινά αντικείμενα από το περιβάλλον των μαθητών μπορούν να δώσουν τη δυνατότητα στους μαθητές να συνδέσουν την άτυπη με την τυπική γνώση.

Ψηφιακά εργαλεία

Η αξιοποίηση των ψηφιακών τεχνολογιών υποστηρίζει την έμφαση που δίνεται στο ΠΣ στην εμπλοκή των μαθητών σε μαθηματικές δραστηριότητες, διερεύνηση μαθηματικών ιδεών και επίλυση προβλήματος μέσα από τη χρήση εξειδικευμένων λογισμικών για μαθηματική διερεύνηση και εργαλείων κοινωνικού λογισμικού για συλλογική διαπραγμάτευση και συνεργασία. Τα ψηφιακά εργαλεία που προτείνονται στο ΠΣ χρησιμοποιούνται ως εργαλεία έκφρασης και οργανώνονται σε πέντε κατηγορίες, ανάλογα με το είδος της μαθηματικής δραστηριότητας και τον τρόπο χρήσης της υφιστάμενης τεχνολογίας. Αυτές είναι: η μαθηματική έκφραση μέσω προγραμματισμού, ο δυναμικός χειρισμός γεωμετρικών αντικειμένων και σχέσεων, η αλγεβρική διερεύνηση με αντίστοιχα συστήματα, η διερεύνηση και επεξεργασία δεδομένων για στατιστική και πιθανότητες και ο πειραματισμός με ψηφιακά μοντέλα. Τα εργαλεία αυτά αξιοποιούνται με συνδυασμό μεικτής και διακριτής παρέμβασης σε δύο επίπεδα:

·         επιλεκτικά με τη μορφή μικροπειραμάτων που ενσωματώνονται σε διαφορετικά σημεία της ύλης και μπορεί να συνδέονται είτε με ορισμούς και μαθηματικές ιδιότητες είτε με δραστηριότητες και ασκήσεις των σχολικών βιβλίων,

·         ως βασικό υλικό αναφοράς σε συνθετικές εργασίες για το σχεδιασμό και την προετοιμασία μαθητικών δραστηριοτήτων, αλλά και για μαθηματική διερεύνηση.

Τα μικροπειράματα εμπεριέχουν διασυνδεδεμένες αναπαραστάσεις και η βασική χρήση τους από μαθητές προβλέπει δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων ώστε συμπεριφορές, σχέσεις και ιδιότητες να γίνονται αντικείμενο προβληματισμού, διερεύνησης και διαπραγμάτευσης (τι μένει σταθερό και τι αλλάζει, καθώς μετεξελίσσονται τα μαθηματικά αντικείμενα). Για παράδειγμα, με αφετηρία μια δραστηριότητα – άσκηση του σχολικού βιβλίου, ένα μικροπείραμα μπορεί να στοχεύει στην επεξήγηση μιας έννοιας ή στην απαραίτητη εμβάθυνση για την κατανόησή της από τους μαθητές. Έτσι, το κάθε μικροπείραμα μπορεί να καλύπτει μια έννοια στενά ή σε ένα ευρύτερο εννοιολογικό πεδίο όπου εμπλέκονται συνδεδεμένες μαθηματικές έννοιες. Για παράδειγμα, σε μια δραστηριότητα κατασκευής της περιμέτρου ενός τριγώνου με ένα εργαλείο δυναμικής γεωμετρίας (μέσω τομής κύκλων) περιλαμβάνονται στοιχεία που αφορούν τον τρόπο κατασκευής ισοσκελούς και ισοπλεύρου τριγώνου, αλλά και αναγκαίες συνδέσεις με γνώσεις που έχουν οι μαθητές για τις ιδιότητες του κύκλου. Τα μικροπειράματα σε κάποιες περιπτώσεις βασίζονται στη χρήση έτοιμων εφαρμογών (applets) από έγκυρες ιστοσελίδες. Αυτό συμβαίνει κυρίως στους κύκλους Α και Β όπου η πλαισίωση των μαθηματικών εννοιών με μοντέλα και καταστάσεις απαιτεί μεγάλη ποικιλία αναπαραστάσεων και σχέσεων. Με αυτό τον τρόπο επιδιώκεται η ενίσχυση των ευκαιριών μάθησης των αντίστοιχων μαθηματικών εννοιών από τους μαθητές.

Τα μικρο-πειράματα λοιπόν προορίζονται για χειρισμό από το μαθητή (εξατομικευμένα ή σε συνεργασία σε ομάδα) με δια ζώσης διδακτική υποστήριξη από τον εκπαιδευτικό, ενώ μπορεί να χρησιμοποιηθούν κατά την παραδοσιακή μετωπική διδασκαλία με χρήση διαδραστικού πίνακα ως μέσα επεξήγησης εννοιών, αλλά και ως μέσα για σχεδιασμό μιας διευρυμένης μαθηματικής διερεύνησης  ντήσεις των μαθητών να αφήνουν πεδίο παρέμβασης στον εκπαιδευτικό και αφορμές για διενέργεια συζήτησης στην ολομέλεια της τάξης (π.χ. μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος ή εύρεσης μιας απάντησης, γενίκευση της λύσης, ερμηνεία αποτελεσμάτων και συμπεριφορών μαθηματικών αντικειμένων).

Συνθετικές εργασίες

Στο Πρόγραμμα Σπουδών προτείνεται η διαχείριση 10 ωρών διδασκαλίας από τον προβλεπόμενο ανά σχολικό έτος χρόνο για να εργαστούν οι μαθητές σε συνθετικές εργασίες. Η συνθετική εργασία δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να ασχοληθούν με μια πιο εκτεταμένη δραστηριότητα που συνδέεται με άλλα μαθησιακά διδακτικά αντικείμενα, καθώς και με καταστάσεις της πραγματικής ζωής. Στην περίπτωση των συνθετικών εργασιών με αξιοποίηση των ψηφιακών εργαλείων η έμφαση δίνεται στη δυνατότητα που παρέχουν στους μαθητές να εμπλακούν βαθύτερα σε μαθηματικές δραστηριότητες, να κατασκευάσουν και να επεξεργαστούν ψηφιακά μαθηματικά αντικείμενα, συμπεριφορές και σχέσεις μέσα από το χειρισμό αλληλοσυνδεόμενων αναπαραστάσεων για ένα σύνολο διδακτικών ωρών. Στο επίκεντρο κάθε συνθετικής εργασίας βρίσκεται η συνεργασία μεταξύ των μαθητών (συχνά σε ομάδες) για τη διερεύνηση ενός θέματος ή για τη λύση ενός προβλήματος στο οποίο εμπλέκονται τα μαθηματικά και αναδεικνύονται ως εργαλείο που ευνοεί τη διερεύνηση καθαυτή, τη διαπραγμάτευση και την ερμηνεία. Έτσι, ο εκπαιδευτικός έχει τη δυνατότητα να σχεδιάσει διερευνήσεις που αναδεικνύουν συνδέσεις εντός των μαθηματικών (π.χ. διερεύνηση με άξονα ένα μαθηματικό θέμα) ή εκτός των μαθηματικών (π.χ. μαθηματικά και πολιτισμός, μαθηματικά στο πλαίσιο πραγματικών καταστάσεων). Σε κάθε περίπτωση, οι προτεινόμενες συνθετικές εργασίες δεν προτείνεται να ειδωθούν ως αντικείμενα υλικού προς επεξήγηση στους μαθητές, αλλά να λειτουργήσουν ως γεννήτορες ιδεών για τη δημιουργική εμπλοκή των ίδιων των εκπαιδευτικών στο σχεδιασμό νέων εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων προς διερεύνηση μιας ποικιλίας μαθηματικών εννοιών του ΑΠΣ από τους μαθητές. Μέρος ή το σύνολο των συνθετικών εργασιών που βασίζονται στη χρήση ψηφιακών εργαλείων προτείνεται να εφαρμοστούν στο εργαστήριο υπολογιστών του σχολείου.

Βιβλιογραφία

Cipra, B., (1985), Erreures, Paris, Intereditions

Cobb, P., Wood, T. & Yackel, E., (1991), A constructivist approach to second grade mathematics, In E. Von Glaserfeld (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer

Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (2002), Ιστορία και μάθηση των Μαθηματικών. Στο: Καΐλα, Μ., Καλαβάσης, Φ., Πολεμικός, Ν. (Επ.). Μύθοι, Μαθηματικά, Πολιτισμοί: Αποσιωπημένες σχέ- σεις στην εκπαίδευση. Αθήνα: Ατραπός.

Freudenthal, H., (1983), Didactic phenomenology of mathematical structures, Dordrecht: Reidel

Kamii, C. & DeClark, G., (1995), Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική (μτφρ. Γ. Ζακοπούλου), Αθήνα: Πατάκης

Κοτοπούλης, Β. Θ., (2004), Η oικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης των νηπίων και η ανάπτυξή της στους μαθητές των Α’ και Β’ τάξεων του Δημοτικού Σχολείου, Διδακτορική Διατριβή, θήνα: ΕΚΠΑ

Παΐζη, Ν., (1987), Τα μαθηματικά και η εκπαίδευση του υποψήφιου δασκάλου των μαθηματικών, Σύγχρονη Εκπαίδευση, τ. 36, σ. 91

Von Glasserfeld, E. (1987), Learning as a constructive activity, In C. Janvier (Ed.). Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 3-18), Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates